معمای پارادکس مونتی هال ، مسئله احتمالی که ۱۰،۰۰۰ خواننده از پاسخ آن خشمگین شدند!
مسئله مونتی هال (Monty Hall problem) یکی از معماهای جالب در علم احتمالات است. این معما در یک مسابقه تلویزیونی امریکایی به نام Let’s Make a Deal (بیا معامله ای کنیم) مطرح شده و نامش را نیز از نام مجری اصلی این مسابقه، مونتی هالپارین، گرفته است.
مسئله مونتی هال (Monty Hall problem) یکی از معماهای جالب در علم احتمالات است. این معما در یک مسابقه تلویزیونی امریکایی به نام Let’s Make a Deal (بیا معامله ای کنیم) مطرح شده و نامش را نیز از نام مجری اصلی این مسابقه، مونتی هالپارین، گرفته است. مسئله مونتی هال یا پارادوکس مونتی هال در زمره پارادوکس‌های حقیقی قرار می‌گیرد: با این که جواب مسئله اشتباه به نظر میرسد اما در واقع کاملا درست می باشد.
در جریان مسابقه، شرکت کننده در معرض انتخاب یک در از بین ۳ در بسته قرار می گیرد که فقط پشت یکی از آن ها، خودرویی با ارزش قرار دارد و پشت هر کدام از دو در دیگر یک بز است (اصطلاحاً پوچ اند). پس از انتخاب یکی از درها توسط شرکت کننده، مجری برنامه یکی از درهای انتخاب نشده را باز می کند. البته، به دلیل این که او از محتوای پشت درها کاملاً آگاه است، همیشه دری را باز می کند که پوچ می باشد. پس از باز شدن یکی از درها، از شرکت کننده سوال می شود که آیا مایل است در انتخاب شده را تغییر دهد یا خیر؟ بررسی پاسخ این موضوع از نظر علم احتمالات، موجب تعریف مسأله و پارادوکس مونتی هال شده است.
این مسئله هنگامی که برای اولین بار آن را می شنوید، ممکن است ساده به نظر برسد و بگویید احتمال هر کدام ۱/۲ و انتخاب یک در از بین ۲ در است. پاسخ واس سوانت این است: شرکت کننده باید پیشنهاد مجری را بپذیرد. از آنجا که احتمال وجود خودرو پشت هر یک از سه در مساوی است، بازیکنی که در ۱ را انتخاب می‌کند شانس برنده شدنش یک به سه است. اما بازیکنی که در شماره ۱ را انتخاب می‌کند و بعد آن را با در شماره ۲ عوض می‌کند، به احتمال ۲ به ۳ برنده است. چون مجری یکی از درهای انتخاب نشده را باز کرده و یکی از گزینه‌ها را باطل کرده است. بنابراین، شرکت‌کننده با عوض کردن انتخابش شانس برنده شدنش را دو برابر می‌کند.
این معما برای اولین بار در سال ۱۹۷۵ توسط پروفسور برکلی استیو سلوین در نامه ای به سردبیر روزنامه آمارگر آمریکایی منتشر شد. اما تا سال ۱۹۹۰، زمانی که “باهوش ترین زن جهان” مرلین واس سوانت به سوال یک خواننده در مورد این مشکل در ستون هفتگی خود در مجله پرید پاسخ داد، به شهرت نرسیده بود. خواننده مشکل را همانطور پاسخ داد که ما در حال حاضر مطرح کرده ایم و واس سونت به سادگی پاسخ داد: “بله؛ شما باید گزینه خود را تغییر دهید. ” انتخاب در اول، یک سوم شانس برنده شدن وجود دارد، اما انتخاب در دوم شانس را به دو سوم افزایش می دهد.”
اگر شما با این جواب مشکل دارید، مطمئنا تنها نیستید. در پاسخ به این ستون ساده، او بیش از ۱۰،۰۰۰ نامه دریافت کرد، بسیاری از دانشگاهیان برجسته، به او گفتند او اشتباه کرده است. یکی از خوانندگان Ph.D. در نامه نوشته بود: “شاید زنان نگاه متفاوتی نسبت به مردان در مسائل ریاضی داشته باشند. خواننده دیگری نوشته بود: به نظر میرسد که شما در حل مسائل ابتدایی ریاضیات مشکل دارید، حتی خواننده ای از عصبانیت نوشته بود: “شما بز هستید!”
بسیاری از خوانندگان حاضر نبودند بپذیرند که تاخت زدن در چنین موقعیتی به سود شرکت‌کننده است. حتی با وجود ارائه توضیحات، شبیه‌سازی موقعیت و اثبات‌های ریاضی، بسیاری با این جواب متقاعد نشدند. اندرو واسونی، توضیح می‌دهد که پل اردیش، یکی از برجسته‌ترین ریاضی‌دانان تاریخ، تا زمانی که شبیه‌سازی کامپیوتری‌ای را مشاهده نمود که این نتیجه را تأیید می‌کرد؛ متقاعد نشد.
اما پاسخ واس سوانت درست بود. در ادامه بیشتر به آن می پردازیم.
کلید فهم این مسئله این موضوع است که متوجه شویم که انتخاب هایمان کاملا تصادفی نیستند: مونتی هال می داند که خودرو پشت کدام در قرار دارد و تا پایان بازی آن در را باز نخواهد شد. تصور کنید که به جای سه در، شما با ۱۰۰ در مواجه باشید. مثلا شما در ۱ را انتخاب می کنید و مونتی هال ۹۸ در دیگر را که پشتشان جایزه ای نیست باز می کند. آیا بازهم فکر می کنید دری که شما در ابتدا انتخاب کرده اید، به همان اندازه دری که بسته باقی مانده احتمال دارد که پشت آن خودرو باشد؟ قطعا چیز مشکوکی در مورد در باقی مانده وجود دارد که هنوز باز نشده است.
در مورد مسئله با سه در نیز احتمالات پیرامون در باقیمانده نسبت به ۱۰۰ در کمتر است، اما به همان شیوه عمل می کنند. قبل از اینکه یک در را انتخاب کنید، احتمال ۱/۳ وجود دارد که هر کدام از آنها حاوی خودرو باشد. اما هنگامی که شما در ۱ را انتخاب می کنید و مانتی هال در ۳ را باز می کند تا نشان دهد که این پشت آن خودرویی نیست، شانس در ۲ به ۲/۳ می رسد. به یاد داشته باشید، درست مانند مشکل ۱۰۰ درصدی، احتمالا چیزی در مورد در دوم وجود دارد که منجر به باز شدن آن نشده است.
راه دیگر این است که همه احتمالات را در نظر بگیرید.
احتمال ۱: شما در ۱ را انتخاب می کنید، و خودرو پشت در ۱ است. مونته هال در ۳ را حذف می کند. در این صورت، اگر گزینه خود را تغییر دهید، باخته اید.
احتمال ۲: شما در ۱ را انتخاب می کنید و خودرو پشت در ۲ است. مونته هال در ۳ را حذف می کند. در این صورت، اگر گزینه خود را تغییر دهید، برده اید.
احتمال ۳: شما در ۱ را انتخاب کرده اید و خودرو پشت در ۳ است. اما مونتی هال در ۳ را باز نمی کند تا خودرو را به نمایش بگذارد، زیرا در این صورت بازی به پایان رسیده است. در عوض او در ۲ را حذف می کند. باز هم، در این مورد، اگر گزینه خود را تغییر دهید، برنده می شوید.
همانطور که می بینید، با تغییر گزینه در دو احتمال از ۳ حالت شما برنده اتومبیل می شوید. واس سوانت اظهار کرد که علت به اشتباه افتادن برخی این است که فراموش می‌کنند مجری همیشه ناچار است دری را باز کند که پوچ است. البته اگر واقعاً در بازی شرکت کنید بازهم همه چیز به شانس خودتان بستگی خواهد داشت.
منبع: curiosity.com
